Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion vs Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Die Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt. Diese Idee ist sehr verbreitet und wird im täglichen Leben häufig verwendet, wenn wir unsere Chancen, Transaktionen und viele andere Dinge bewerten. Die Erweiterung dieses einfachen Konzepts auf eine größere Anzahl von Ereignissen ist etwas schwieriger. Zum Beispiel können wir die Gewinnchancen einer Lotterie nicht leicht herausfinden, aber es ist praktisch, ziemlich intuitiv zu sagen, dass es wahrscheinlich ist, dass einer von sechs Würfeln die Nummer sechs in einem Würfelwurf bekommt.
Wenn die Anzahl der Ereignisse, die stattfinden können, größer wird oder die Anzahl der einzelnen Möglichkeiten groß ist, schlägt diese ziemlich einfache Vorstellung von Wahrscheinlichkeit fehl. Daher muss eine solide mathematische Definition gegeben werden, bevor Probleme mit höherer Komplexität angegangen werden können.
Wenn die Anzahl der Ereignisse, die in einer einzelnen Situation stattfinden können, groß ist, ist es unmöglich, jedes Ereignis einzeln zu betrachten, wie im Beispiel der geworfenen Würfel. Daher wird der gesamte Satz von Ereignissen durch Einführung des Konzepts der Zufallsvariablen zusammengefasst. Es ist eine Variable, die die Werte verschiedener Ereignisse in dieser bestimmten Situation (oder im Probenraum) annehmen kann. Es gibt einfachen Ereignissen in der Situation einen mathematischen Sinn und eine mathematische Art, das Ereignis anzugehen. Genauer gesagt ist eine Zufallsvariable eine Realwertfunktion über den Elementen des Probenraums. Die Zufallsvariablen können entweder diskret oder kontinuierlich sein. Sie werden normalerweise durch die Großbuchstaben des englischen Alphabets gekennzeichnet.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (oder einfach die Wahrscheinlichkeitsverteilung) ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeitswerte für jedes Ereignis zuweist. dh es liefert eine Beziehung zu den Wahrscheinlichkeiten für die Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion ist für diskrete Zufallsvariablen definiert.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist das Äquivalent der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion für die kontinuierlichen Zufallsvariablen und gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine bestimmte Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt.
Wenn X eine diskrete Zufallsvariable ist, wird die als f (x) = P (X = x) für jedes x innerhalb des Bereichs von X angegebene Funktion als Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion bezeichnet. Eine Funktion kann genau dann als Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion dienen, wenn die Funktion die folgenden Bedingungen erfüllt.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Eine Funktion f (x), die über die Menge der reellen Zahlen definiert ist, wird genau dann als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der stetigen Zufallsvariablen X bezeichnet, wenn
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx für alle reellen Konstanten a und b.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sollte auch die folgenden Bedingungen erfüllen.
1. f (x) ≥ 0 für alle x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Sowohl die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion als auch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion werden verwendet, um die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten über den Probenraum darzustellen. Im Allgemeinen werden diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen genannt.
Für die statistische Modellierung werden Standardwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen abgeleitet. Die Normalverteilung und die Standardnormalverteilung sind Beispiele für die kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung sind Beispiele für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Was ist der Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion?
• Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sind Funktionen, die über den Probenraum definiert sind, um jedem Element den relevanten Wahrscheinlichkeitswert zuzuweisen.
• Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen sind für die diskreten Zufallsvariablen definiert, während Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen für die kontinuierlichen Zufallsvariablen definiert sind.
• Die Verteilung von Wahrscheinlichkeitswerten (dh Wahrscheinlichkeitsverteilungen) wird am besten durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion dargestellt.
• Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion kann als Werte in einer Tabelle dargestellt werden, dies ist jedoch für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion nicht möglich, da die Variable stetig ist.
• Beim Zeichnen ergibt die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion ein Balkendiagramm, während die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eine Kurve ergibt.
• Die Höhe / Länge der Balken der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion muss zu 1 addiert werden, während die Fläche unter der Kurve der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu 1 addiert werden muss.
• In beiden Fällen dürfen alle Werte der Funktion nicht negativ sein.
