Differenzierung gegen Derivat
In der Differentialrechnung sind Ableitung und Differenzierung eng miteinander verbunden, aber sehr unterschiedlich und werden verwendet, um zwei wichtige mathematische Konzepte darzustellen, die sich auf Funktionen beziehen.
Was ist ein Derivat?
Die Ableitung einer Funktion misst die Rate, mit der sich der Funktionswert ändert, wenn sich seine Eingabe ändert. Bei Funktionen mit mehreren Variablen hängt die Änderung des Funktionswerts von der Richtung der Änderung der Werte der unabhängigen Variablen ab. Daher wird in solchen Fällen eine bestimmte Richtung gewählt und die Funktion wird in dieser bestimmten Richtung unterschieden. Diese Ableitung wird als Richtungsableitung bezeichnet. Partielle Derivate sind eine spezielle Art von Richtungsderivaten.
Die Ableitung einer vektorwertigen Funktion f kann als die Grenze definiert werden,
wo immer sie endlich existiert. Wie bereits erwähnt, ergibt dies die Anstiegsrate der Funktion f entlang der Richtung des Vektors u. Bei einer einwertigen Funktion reduziert sich dies auf die bekannte Definition der Ableitung,
Zum Beispiel
ist überall differenzierbar, und die Ableitung ist gleich der Grenze
die gleich ist
. Die Ableitungen von Funktionen wie
existieren überall. Sie sind jeweils gleich den Funktionen
Dies ist als erste Ableitung bekannt. Normalerweise wird die erste Ableitung der Funktion f mit f (1) bezeichnet. Mit dieser Notation ist es nun möglich, Ableitungen höherer Ordnung zu definieren.
ist die Richtungsableitung zweiter Ordnung und bezeichnet die n- te Ableitung mit f (n) für jedes n
und definiert die n- te Ableitung.
Was ist Differenzierung?
Differenzierung ist der Prozess des Findens der Ableitung einer differenzierbaren Funktion. Der mit D bezeichnete D-Operator repräsentiert in einigen Zusammenhängen eine Differenzierung. Wenn x die unabhängige Variable ist, dann ist D ≡ d / dx. Der D-Operator ist ein linearer Operator, dh für zwei beliebige differenzierbare Funktionen f und g und die Konstante c gelten folgende Eigenschaften.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
Unter Verwendung des D-Operators können die anderen mit der Differenzierung verbundenen Regeln wie folgt ausgedrückt werden. D (fg) = D (f) g + fD (g), D (f / g) = [D (f) g - fD (g)] / g 2 und D (Nebel) = (D (f)) og) D (g).
Wenn zum Beispiel F (x) = x 2 sin x in Bezug auf x unter Verwendung der angegebenen Regeln differenziert wird, lautet die Antwort 2 x sin x + x 2 cos x.
Was ist der Unterschied zwischen Differenzierung und Ableitung?
• Derivat bezieht sich auf eine Änderungsrate einer Funktion
• Differenzierung ist der Prozess des Findens der Ableitung einer Funktion.
