Derivat vs Differential
In der Differentialrechnung sind Ableitung und Differential einer Funktion eng miteinander verbunden, haben jedoch sehr unterschiedliche Bedeutungen und werden verwendet, um zwei wichtige mathematische Objekte darzustellen, die sich auf differenzierbare Funktionen beziehen.
Was ist ein Derivat?
Die Ableitung einer Funktion misst die Rate, mit der sich der Funktionswert ändert, wenn sich seine Eingabe ändert. Bei Funktionen mit mehreren Variablen hängt die Änderung des Funktionswerts von der Richtung der Änderung der Werte der unabhängigen Variablen ab. Daher wird in solchen Fällen eine bestimmte Richtung gewählt und die Funktion wird in dieser bestimmten Richtung unterschieden. Diese Ableitung wird als Richtungsableitung bezeichnet. Partielle Derivate sind eine spezielle Art von Richtungsderivaten.
Die Ableitung einer vektorwertigen Funktion f kann als die Grenze definiert werden,
wo immer sie endlich existiert. Wie bereits erwähnt, ergibt dies die Anstiegsrate der Funktion f entlang der Richtung des Vektors u. Bei einer einwertigen Funktion reduziert sich dies auf die bekannte Definition der Ableitung,
Zum Beispiel
ist überall differenzierbar, und die Ableitung ist gleich der Grenze
die gleich ist
. Die Ableitungen von Funktionen wie
existieren überall. Sie sind jeweils gleich den Funktionen
Dies ist als erste Ableitung bekannt. Normalerweise wird die erste Ableitung der Funktion f mit f (1) bezeichnet. Mit dieser Notation ist es nun möglich, Ableitungen höherer Ordnung zu definieren.
ist die Richtungsableitung zweiter Ordnung und bezeichnet die n- te Ableitung mit f (n) für jedes n
und definiert die n- te Ableitung.
Was ist Differential?
Das Differential einer Funktion repräsentiert die Änderung der Funktion in Bezug auf Änderungen der unabhängigen Variablen oder Variablen. In der üblichen Notation ist für eine gegebene Funktion f einer einzelnen Variablen x die Gesamtdifferenz der Ordnung 1 df gegeben durch,
. Dies bedeutet, dass für eine infinitesimale Änderung von x (dh dx) eine af (1) (x) dx-Änderung von f vorliegt.
Wenn man Grenzen verwendet, kann man diese Definition wie folgt erhalten. Angenommen, ∆ x ist die Änderung von x an einem beliebigen Punkt x und ∆ f ist die entsprechende Änderung der Funktion f. Es kann gezeigt werden, dass ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ ist, wobei ϵ der Fehler ist. Nun ist die Grenze ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (unter Verwendung der zuvor angegebenen Definition der Ableitung) und somit ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Daher ist es möglich, schlussfolgern, dass ∆ x → 0 ϵ = 0. Wenn nun ∆ x → 0 ∆ f als df und ∆ x → 0 ∆ x als dx bezeichnet wird, wird die Definition des Differentials rigoros erhalten.
Zum Beispiel kann das Differential der Funktion
ist
Bei Funktionen von zwei oder mehr Variablen wird das Gesamtdifferential einer Funktion als die Summe der Differentiale in den Richtungen jeder der unabhängigen Variablen definiert. Mathematisch kann es als angegeben werden
Was ist der Unterschied zwischen Ableitung und Differenz?
• Derivat bezieht sich auf eine Änderungsrate einer Funktion, während sich das Differential auf die tatsächliche Änderung der Funktion bezieht, wenn sich die unabhängige Variable ändert.
• Die Ableitung ist gegeben durch
aber das Differential ist gegeben durch
