Diskrete vs kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Statistische Experimente sind zufällige Experimente, die mit einer Reihe bekannter Ergebnisse auf unbestimmte Zeit wiederholt werden können. Eine Variable wird als Zufallsvariable bezeichnet, wenn sie das Ergebnis eines statistischen Experiments ist. Stellen Sie sich zum Beispiel ein zufälliges Experiment vor, bei dem eine Münze zweimal geworfen wird. Die möglichen Ergebnisse sind HH, HT, TH und TT. Die Variable X sei die Anzahl der Köpfe im Experiment. Dann kann X die Werte 0, 1 oder 2 annehmen und ist eine Zufallsvariable. Beachten Sie, dass für jedes der Ergebnisse X = 0, X = 1 und X = 2 eine bestimmte Wahrscheinlichkeit besteht.
Somit kann eine Funktion von der Menge möglicher Ergebnisse zu der Menge reeller Zahlen so definiert werden, dass für jedes mögliche Ergebnis x ƒ (x) = P (X = x) (die Wahrscheinlichkeit, dass X gleich x ist) ist. Diese spezielle Funktion f wird als Wahrscheinlichkeitsmassen- / Dichtefunktion der Zufallsvariablen X bezeichnet. Nun kann die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X in diesem speziellen Beispiel geschrieben werden als ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25.
Eine Funktion, die als kumulative Verteilungsfunktion (F) bezeichnet wird, kann von der Menge der reellen Zahlen zur Menge der reellen Zahlen als F (x) = P (X ≤ x) definiert werden (die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner oder gleich x ist)) für jedes mögliche Ergebnis x. Nun kann die kumulative Verteilungsfunktion von X in diesem speziellen Beispiel als F (a) = 0 geschrieben werden, wenn a <0; F (a) = 0,25, wenn 0 ≤ a <1 ist; F (a) = 0,75, wenn 1 ≤ a <2 ist; F (a) = 1, wenn a ≥ 2.
Was ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Wenn die der Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnete Zufallsvariable diskret ist, wird eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung als diskret bezeichnet. Eine solche Verteilung wird durch eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (ƒ) spezifiziert. Das oben angegebene Beispiel ist ein Beispiel für eine solche Verteilung, da die Zufallsvariable X nur eine endliche Anzahl von Werten haben kann. Häufige Beispiele für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind Binomialverteilung, Poisson-Verteilung, hypergeometrische Verteilung und Multinomialverteilung. Wie aus dem Beispiel ersichtlich, ist die kumulative Verteilungsfunktion (F) eine Sprungfunktion und ∑ ∑ (x) = 1.
Was ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Wenn die der Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnete Zufallsvariable kontinuierlich ist, wird eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung als kontinuierlich bezeichnet. Eine solche Verteilung wird unter Verwendung einer kumulativen Verteilungsfunktion (F) definiert. Dann wird beobachtet, dass die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ƒ (x) = dF (x) / dx und ∫ƒ (x) dx = 1. Normalverteilung, Student-t-Verteilung, Chi-Quadrat-Verteilung und F-Verteilung sind gängige Beispiele für kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Was ist der Unterschied zwischen einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung und einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung?
• Bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die damit verbundene Zufallsvariable diskret, während bei kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen die Zufallsvariable kontinuierlich ist.
• Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden normalerweise mithilfe von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen eingeführt, diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden jedoch mithilfe von Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen eingeführt.
• Das Frequenzdiagramm einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung ist nicht kontinuierlich, aber kontinuierlich, wenn die Verteilung kontinuierlich ist.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, ist Null, bei diskreten Zufallsvariablen jedoch nicht.
