Hyperbel gegen Ellipse
Wenn ein Kegel in verschiedenen Winkeln geschnitten wird, werden verschiedene Kurven durch die Kante des Kegels markiert. Diese Kurven werden oft als Kegelschnitte bezeichnet. Genauer gesagt ist ein Kegelschnitt eine Kurve, die durch Schneiden einer rechten kreisförmigen Kegelfläche mit einer ebenen Fläche erhalten wird. Bei unterschiedlichen Schnittwinkeln sind unterschiedliche Kegelschnitte gegeben.
Sowohl Hyperbel als auch Ellipse sind Kegelschnitte, und ihre Unterschiede lassen sich in diesem Zusammenhang leicht vergleichen.
Mehr über Ellipse
Wenn der Schnittpunkt der Kegelfläche und der ebenen Fläche eine geschlossene Kurve ergibt, spricht man von einer Ellipse. Es hat eine Exzentrizität zwischen Null und Eins (0)
Das Liniensegment, das durch die Brennpunkte verläuft, ist als Hauptachse bekannt, und die Achse senkrecht zur Hauptachse und durch die Mitte der Ellipse ist als Nebenachse bekannt. Die Durchmesser entlang jeder Achse sind als Querdurchmesser bzw. konjugierter Durchmesser bekannt. Die Hälfte der Hauptachse ist als Semi-Major-Achse und die Hälfte der Nebenachse als Semi-Minor-Achse bekannt.
Jeder Punkt F 1 und F 2 sind als Brennpunkte der Ellipse und Längen F 1 + PF 2 = 2a bekannt, wobei P ein beliebiger Punkt auf der Ellipse ist. Die Exzentrizität e ist definiert als das Verhältnis zwischen dem Abstand von einem Fokus zum beliebigen Punkt (PF 2) und dem senkrechten Abstand zum beliebigen Punkt von der Geraden (PD). Es ist auch gleich dem Abstand zwischen den beiden Brennpunkten und der Semi-Major-Achse: e = PF / PD = f / a
Die allgemeine Gleichung der Ellipse, wenn die Semi-Major-Achse und die Semi-Minor-Achse mit den kartesischen Achsen zusammenfallen, ist wie folgt angegeben.
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1
Die Geometrie der Ellipse hat viele Anwendungen, insbesondere in der Physik. Die Umlaufbahnen der Planeten im Sonnensystem sind elliptisch mit der Sonne als einem Fokus. Die Reflektoren für Antennen und akustische Geräte sind in elliptischer Form hergestellt, um die Tatsache auszunutzen, dass jede Emission, die einen Fokus bildet, auf den anderen Fokus konvergiert.
Mehr über Hyperbel
Die Hyperbel ist ebenfalls ein Kegelschnitt, hat jedoch ein offenes Ende. Der Begriff Hyperbel bezieht sich auf die beiden in der Abbildung gezeigten getrennten Kurven. Anstatt sich wie eine Ellipse zu schließen, setzen sich die Arme oder die Zweige der Hyperbel bis ins Unendliche fort.
Die Punkte, an denen die beiden Zweige den kürzesten Abstand zwischen sich haben, werden als Eckpunkte bezeichnet. Die Linie, die durch die Eckpunkte verläuft, wird als Hauptachse oder Querachse betrachtet und ist eine der Hauptachsen der Hyperbel. Die beiden Schwerpunkte der Parabel liegen ebenfalls auf der Hauptachse. Der Mittelpunkt der Linie zwischen den beiden Eckpunkten ist der Mittelpunkt, und die Länge des Liniensegments ist die Semi-Major-Achse. Die senkrechte Winkelhalbierende der Semi-Major-Achse ist die andere Hauptachse, und die beiden Kurven der Hyperbel sind um diese Achse symmetrisch. Die Exzentrizität der Parabel ist größer als eins; e> 1.
Wenn die Hauptachsen mit den kartesischen Achsen übereinstimmen, hat die allgemeine Gleichung der Hyperbel die Form:
x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1, Dabei ist a die Semi-Major-Achse und b der Abstand vom Zentrum zu beiden Fokussen.
Die Hyperbeln mit offenen Enden zur x-Achse sind als Ost-West-Hyperbeln bekannt. Ähnliche Hyperbeln können auch auf der y-Achse erhalten werden. Diese werden als Hyperbeln der y-Achse bezeichnet. Die Gleichung für solche Hyperbeln hat die Form
y 2 / a 2 - x 2 / b 2 = 1
Was ist der Unterschied zwischen Hyperbel und Ellipse?
• Sowohl Ellipsen als auch Hyperbel sind Kegelschnitte, aber die Ellipse ist eine geschlossene Kurve, während die Hyperbel aus zwei offenen Kurven besteht.
• Daher hat die Ellipse einen endlichen Umfang, aber die Hyperbel hat eine unendliche Länge.
• Beide sind symmetrisch um ihre Haupt- und Nebenachse, aber die Position der Directrix ist in jedem Fall unterschiedlich. In der Ellipse liegt es außerhalb der Semi-Major-Achse, während es in der Hyperbel in der Semi-Major-Achse liegt.
• Die Exzentrizitäten der beiden Kegelschnitte sind unterschiedlich.
0
e Hyperbel > 0
• Die allgemeine Gleichung der beiden Kurven sieht gleich aus, ist jedoch unterschiedlich.
• Die senkrechte Winkelhalbierende der Hauptachse schneidet die Kurve in der Ellipse, jedoch nicht in der Hyperbel.
(Bildquelle: Wikipedia)
