Rechteck gegen Raute
Raute und Rechteck sind Vierecke. Die Geometrie dieser Figuren war dem Menschen seit Tausenden von Jahren bekannt. Das Thema wird in dem Buch „Elemente“des griechischen Mathematikers Euklid ausdrücklich behandelt.
Parallelogramm
Das Parallelogramm kann als geometrische Figur mit vier Seiten definiert werden, wobei die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind. Genauer gesagt handelt es sich um ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten. Diese Parallelität verleiht den Parallelogrammen viele geometrische Eigenschaften.
Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn folgende geometrische Merkmale gefunden werden.
• Zwei Paare gegenüberliegender Seiten sind gleich lang. (AB = DC, AD = BC)
• Zwei Paare entgegengesetzter Winkel sind gleich groß. (
)
• Wenn die benachbarten Winkel sich ergänzen
• Ein Paar von Seiten, die sich gegenüberliegen, ist parallel und gleich lang. (AB = DC & AB∥DC)
• Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig (AO = OC, BO = OD)
• Jede Diagonale teilt das Viereck in zwei kongruente Dreiecke. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Ferner ist die Summe der Quadrate der Seiten gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen. Dies wird manchmal als Parallelogrammgesetz bezeichnet und ist in der Physik und Technik weit verbreitet. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Jedes der oben genannten Merkmale kann als Eigenschaften verwendet werden, sobald festgestellt wurde, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
Die Fläche des Parallelogramms kann durch das Produkt aus der Länge einer Seite und der Höhe zur gegenüberliegenden Seite berechnet werden. Daher kann die Fläche des Parallelogramms als angegeben werden
Fläche des Parallelogramms = Basis × Höhe = AB × h
Die Fläche des Parallelogramms ist unabhängig von der Form des einzelnen Parallelogramms. Es ist nur abhängig von der Länge der Basis und der senkrechten Höhe.
Wenn die Seiten eines Parallelogramms durch zwei Vektoren dargestellt werden können, kann die Fläche durch die Größe des Vektorprodukts (Kreuzprodukts) der beiden benachbarten Vektoren erhalten werden.
Wenn die Seiten AB und AD durch die Vektoren (
) bzw. (
) dargestellt werden, ist die Fläche des Parallelogramms gegeben durch
wobei α der Winkel zwischen
und ist
Im Folgenden sind einige erweiterte Eigenschaften des Parallelogramms aufgeführt.
• Die Fläche eines Parallelogramms ist doppelt so groß wie die Fläche eines Dreiecks, das durch eine seiner Diagonalen erzeugt wird.
• Der Bereich des Parallelogramms wird durch eine Linie, die durch den Mittelpunkt verläuft, in zwei Hälften geteilt.
• Jede nicht entartete affine Transformation führt ein Parallelogramm zu einem anderen Parallelogramm
• Ein Parallelogramm hat eine Rotationssymmetrie der Ordnung 2
• Die Summe der Abstände von einem inneren Punkt eines Parallelogramms zu den Seiten ist unabhängig von der Position des Punkts
Rechteck
Ein Viereck mit vier rechten Winkeln wird als Rechteck bezeichnet. Es ist ein Sonderfall des Parallelogramms, bei dem die Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten rechte Winkel sind.
Zusätzlich zu allen Eigenschaften eines Parallelogramms können zusätzliche Merkmale erkannt werden, wenn die Geometrie des Rechtecks berücksichtigt wird.
• Jeder Winkel an den Eckpunkten ist ein rechter Winkel.
• Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich gegenseitig. Daher sind auch die halbierten Abschnitte gleich lang.
• Die Länge der Diagonalen kann mit dem Satz von Pythagoras berechnet werden:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• Die Flächenformel reduziert sich auf das Produkt aus Länge und Breite.
Fläche des Rechtecks = Länge × Breite
• Auf einem Rechteck befinden sich viele symmetrische Eigenschaften, z.
- Ein Rechteck ist zyklisch, wobei alle Scheitelpunkte auf dem Umfang eines Kreises platziert werden können.
- Es ist gleichwinklig, wobei alle Winkel gleich sind.
- Es ist isogonal, wobei alle Ecken innerhalb derselben Symmetriebahn liegen.
- Es hat sowohl Reflexionssymmetrie als auch Rotationssymmetrie.
Rhombus
Ein Viereck mit allen Seiten gleicher Länge wird als Raute bezeichnet. Es wird auch als gleichseitiges Viereck bezeichnet. Es wird angenommen, dass es eine Diamantform hat, ähnlich der in den Spielkarten.
Rhombus ist auch ein Sonderfall des Parallelogramms. Es kann als Parallelogramm betrachtet werden, bei dem alle vier Seiten gleich sind. Zusätzlich zu den Eigenschaften eines Parallelogramms weist es folgende spezielle Eigenschaften auf.
• Die Diagonalen der Raute halbieren sich rechtwinklig; Diagonalen sind senkrecht.
• Die Diagonalen halbieren die beiden gegenüberliegenden Innenwinkel.
• Mindestens zwei der benachbarten Seiten sind gleich lang.
Die Fläche der Raute kann mit der gleichen Methode wie das Parallelogramm berechnet werden.
Was ist der Unterschied zwischen Rhombus und Rectangle?
• Raute und Rechteck sind Vierecke. Rechteck und Raute sind Sonderfälle der Parallelogramme.
• Die Fläche kann mit der Formel Basis × Höhe berechnet werden.
• Berücksichtigung der Diagonalen;
- Die Diagonalen der Raute halbieren sich rechtwinklig und die gebildeten Dreiecke sind gleichseitig.
- Die Diagonalen des Rechtecks sind gleich lang und halbieren sich gegenseitig; halbierte Abschnitte sind gleich lang. Die Diagonalen halbieren das Rechteck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.
• Berücksichtigung der Innenwinkel;
- Die Innenwinkel der Raute werden durch die Diagonalen halbiert
- Alle vier Innenwinkel des Rechtecks sind rechte Winkel.
• Berücksichtigung der Seiten;
- Da alle vier Seiten in einer Raute gleich sind, entspricht das Vierfache des Quadrats einer Seite der Summe der Quadrate der Diagonale (unter Verwendung des Parallelogrammgesetzes).
- Bei Rechtecken entspricht die Summe der Quadrate der beiden benachbarten Seiten dem Quadrat der Diagonale an den Enden. (Pythagoras-Regel)
