Differenzgleichung gegen Differentialgleichung
Ein natürliches Phänomen kann mathematisch durch Funktionen einer Reihe unabhängiger Variablen und Parameter beschrieben werden. Insbesondere wenn sie durch eine Funktion der räumlichen Position und Zeit ausgedrückt werden, ergeben sich Gleichungen. Die Funktion kann sich mit der Änderung der unabhängigen Variablen oder der Parameter ändern. Eine infinitesimale Änderung, die in der Funktion auftritt, wenn eine ihrer Variablen geändert wird, wird als Ableitung dieser Funktion bezeichnet.
Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die Ableitungen einer Funktion sowie die Funktion selbst enthält. Eine einfache Differentialgleichung ist die des zweiten Newtonschen Bewegungsgesetzes. Wenn sich ein Objekt der Masse m mit der Beschleunigung 'a' bewegt und mit der Kraft F beaufschlagt wird, sagt uns das zweite Newtonsche Gesetz, dass F = ma ist. Auch hier variiert 'a' mit der Zeit, wir können 'a' umschreiben als; a = dv / dt; v ist Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit ist eine Funktion von Raum und Zeit, dh v = ds / dt; daher ist 'a' = d 2 s / dt 2.
Unter Berücksichtigung dieser Faktoren können wir Newtons zweites Gesetz als Differentialgleichung umschreiben.
'F' als Funktion von v und t - F (v, t) = mdv / dt oder
'F' als Funktion von s und t - F (s, ds / dt, t) = md 2 s / dt 2
Es gibt zwei Arten von Differentialgleichungen; gewöhnliche Differentialgleichung, abgekürzt durch ODE oder partielle Differentialgleichung, abgekürzt durch PDE. Die gewöhnliche Differentialgleichung enthält gewöhnliche Ableitungen (Ableitungen nur einer Variablen). Die partielle Differentialgleichung enthält Differentialableitungen (Ableitungen von mehr als einer Variablen).
zB F = md 2 s / dt 2 ist eine ODE, während α 2 d 2 u / dx 2 = du / dt eine PDE ist, hat es Ableitungen von t und x.
Die Differenzgleichung ist dieselbe wie die Differentialgleichung, aber wir betrachten sie in einem anderen Kontext. In Differentialgleichungen wird die unabhängige Variable wie die Zeit im Kontext eines kontinuierlichen Zeitsystems betrachtet. Im diskreten Zeitsystem nennen wir die Funktion als Differenzgleichung.
Die Differenzgleichung ist eine Funktion der Unterschiede. Die Unterschiede in den unabhängigen Variablen sind drei Typen; Zahlenfolge, diskretes dynamisches System und iterierte Funktion.
In der Folge von Zahlen wird die Änderung rekursiv unter Verwendung einer Regel erzeugt, um jede Zahl in der Folge mit vorherigen Zahlen in der Folge in Beziehung zu setzen.
Die Differenzgleichung in einem diskreten dynamischen System nimmt ein diskretes Eingangssignal und erzeugt ein Ausgangssignal.
Die Differenzgleichung ist eine iterierte Karte für die iterierte Funktion. ZB ist y 0, f (y 0), f (f (y 0)), f (f (f (y 0))), … die Folge einer iterierten Funktion. Das f (y 0) ist die erste Iteration von y 0. Die k-te Iteration wird mit f k (y 0) bezeichnet.
