Gegenseitig ausschließende oder unabhängige Veranstaltungen
Menschen verwechseln oft das Konzept sich gegenseitig ausschließender Ereignisse mit unabhängigen Ereignissen. In der Tat sind dies zwei verschiedene Dinge.
A und B seien zwei beliebige Ereignisse, die mit einem zufälligen Experiment E verbunden sind. P (A) wird als "Wahrscheinlichkeit von A" bezeichnet. In ähnlicher Weise können wir die Wahrscheinlichkeit von B als P (B), die Wahrscheinlichkeit von A oder B als P (A∪B) und die Wahrscheinlichkeit von A und B als P (A∩B) definieren. Dann ist P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Zwei Ereignisse schließen sich jedoch gegenseitig aus, wenn das Auftreten eines Ereignisses das andere nicht beeinflusst. Mit anderen Worten, sie können nicht gleichzeitig auftreten. Wenn sich also zwei Ereignisse A und B gegenseitig ausschließen, ist A∩B = ∅ und dies impliziert P (A∪B) = P (A) + P (B).
A und B seien zwei Ereignisse in einem Probenraum S. Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, vorausgesetzt, dass B aufgetreten ist, wird mit P (A | B) bezeichnet und ist definiert als; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), vorausgesetzt P (B)> 0. (Andernfalls ist es nicht definiert.)
Ein Ereignis A gilt als unabhängig von einem Ereignis B, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass A auftritt, nicht davon beeinflusst wird, ob B aufgetreten ist oder nicht. Mit anderen Worten, das Ergebnis des Ereignisses B hat keinen Einfluss auf das Ergebnis des Ereignisses A. Daher ist P (A | B) = P (A). In ähnlicher Weise ist B unabhängig von A, wenn P (B) = P (B | A). Wir können daher schließen, dass wenn A und B unabhängige Ereignisse sind, P (A∩B) = P (A). P (B)
Angenommen, ein nummerierter Würfel wird gewürfelt und eine faire Münze geworfen. Sei A das Ereignis, bei dem ein Kopf erhalten wird, und B das Ereignis, bei dem eine gerade Zahl gewürfelt wird. Dann können wir schließen, dass die Ereignisse A und B unabhängig sind, weil das Ergebnis des einen das Ergebnis des anderen nicht beeinflusst. Daher ist P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Da P (A∩B) ≠ 0 ist, können sich A und B nicht gegenseitig ausschließen.
Angenommen, eine Urne enthält 7 weiße und 8 schwarze Murmeln. Definieren Sie Ereignis A als Zeichnen eines weißen Marmors und Ereignis B als Zeichnen eines schwarzen Marmors. Angenommen, jeder Marmor wird ersetzt, nachdem seine Farbe notiert wurde, dann sind P (A) und P (B) immer gleich, egal wie oft wir aus der Urne ziehen. Das Ersetzen der Murmeln bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nicht von Zeichnung zu Zeichnung ändern, unabhängig davon, welche Farbe wir bei der letzten Ziehung ausgewählt haben. Daher sind Ereignis A und B unabhängig.
Wenn jedoch Murmeln ersatzlos gezeichnet wurden, ändert sich alles. Unter dieser Annahme sind die Ereignisse A und B nicht unabhängig. Wenn Sie beim ersten Mal einen weißen Marmor zeichnen, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten für das Zeichnen eines schwarzen Marmors beim zweiten Zeichnen und so weiter. Mit anderen Worten, jede Ziehung wirkt sich auf die nächste Ziehung aus, sodass die einzelnen Ziehungen nicht unabhängig sind.
Unterschied zwischen sich gegenseitig ausschließenden und unabhängigen Ereignissen
- Gegenseitige Ausschließlichkeit von Ereignissen bedeutet, dass es keine Überlappung zwischen den Mengen A und B gibt. Unabhängigkeit von Ereignissen bedeutet, dass das Eintreten von A das Eintreten von B nicht beeinflusst.
- Wenn sich zwei Ereignisse A und B gegenseitig ausschließen, ist P (A∩B) = 0.
- Wenn zwei Ereignisse A und B unabhängig sind, ist P (A∩B) = P (A). P (B)
