Zufällige Variablen gegen Wahrscheinlichkeitsverteilung
Statistische Experimente sind zufällige Experimente, die mit einer Reihe bekannter Ergebnisse auf unbestimmte Zeit wiederholt werden können. Mit solchen Experimenten sind sowohl Zufallsvariablen als auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen verbunden. Für jede Zufallsvariable gibt es eine zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch eine Funktion definiert ist, die als kumulative Verteilungsfunktion bezeichnet wird.
Was ist eine Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines statistischen Experiments numerische Werte zuweist. Mit anderen Worten, es ist eine Funktion, die aus dem Probenraum eines statistischen Experiments in die Menge der reellen Zahlen definiert wird.
Stellen Sie sich zum Beispiel ein zufälliges Experiment vor, bei dem eine Münze zweimal geworfen wird. Die möglichen Ergebnisse sind HH, HT, TH und TT (H-Köpfe, T-Geschichten). Die Variable X sei die Anzahl der im Experiment beobachteten Köpfe. Dann kann X die Werte 0, 1 oder 2 annehmen und ist eine Zufallsvariable. Hier ordnet die Zufallsvariable X die Menge S = {HH, HT, TH, TT} (den Probenraum) der Menge {0, 1, 2} so zu, dass HH auf 2, HT und TH abgebildet wird werden auf 1 abgebildet und TT wird auf 0 abgebildet. In der Funktionsnotation kann dies wie folgt geschrieben werden: X: S → R wobei X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 und X (TT) = 0.
Es gibt zwei Arten von Zufallsvariablen: diskret und kontinuierlich. Dementsprechend ist die Anzahl der möglichen Werte, die eine Zufallsvariable annehmen kann, höchstens zählbar oder nicht. Im vorherigen Beispiel ist die Zufallsvariable X eine diskrete Zufallsvariable, da {0, 1, 2} eine endliche Menge ist. Betrachten Sie nun das statistische Experiment zum Ermitteln der Gewichte von Schülern in einer Klasse. Sei Y die Zufallsvariable, die als Gewicht eines Schülers definiert ist. Y kann innerhalb eines bestimmten Intervalls einen beliebigen reellen Wert annehmen. Daher ist Y eine kontinuierliche Zufallsvariable.
Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass eine Zufallsvariable bestimmte Werte annimmt.
Eine Funktion, die als kumulative Verteilungsfunktion (F) bezeichnet wird, kann von der Menge der reellen Zahlen zur Menge der reellen Zahlen definiert werden als F (x) = P (X ≤ x) (die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner oder gleich x ist) für jedes mögliche Ergebnis x. Nun kann die kumulative Verteilungsfunktion von X im ersten Beispiel als F (a) = 0 geschrieben werden, wenn a <0; F (a) = 0,25, wenn 0 ≤ a <1 ist; F (a) = 0,75, wenn 1 ≤ a <2 und F (a) = 1, wenn a ≥ 2.
Bei diskreten Zufallsvariablen kann eine Funktion aus der Menge der möglichen Ergebnisse bis zur Menge der reellen Zahlen so definiert werden, dass ƒ (x) = P (X = x) (die Wahrscheinlichkeit, dass X gleich x ist) für jedes mögliche Ergebnis x. Diese bestimmte Funktion ƒ wird als Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Zufallsvariablen X bezeichnet. Nun kann die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X im ersten bestimmten Beispiel geschrieben werden als ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 und ansonsten ƒ (x) = 0. Somit beschreibt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zusammen mit der kumulativen Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X im ersten Beispiel.
Im Fall von kontinuierlichen Zufallsvariablen kann eine als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (ƒ) bezeichnete Funktion als ƒ (x) = dF (x) / dx für jedes x definiert werden, wobei F die kumulative Verteilungsfunktion der kontinuierlichen Zufallsvariablen ist. Es ist leicht zu erkennen, dass diese Funktion ∫ƒ (x) dx = 1 erfüllt. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschreibt zusammen mit der kumulativen Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. Zum Beispiel wird die Normalverteilung (die eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung ist) unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)) beschrieben..
Was ist der Unterschied zwischen Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilung?
• Zufallsvariable ist eine Funktion, die Werte eines Probenraums einer reellen Zahl zuordnet.
• Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Funktion, die Werte, die eine Zufallsvariable annehmen kann, mit der jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeit verknüpft.
