Fourier-Reihe gegen Fourier-Transformation
Die Fourier-Reihe zerlegt eine periodische Funktion in eine Summe von Sinus und Cosinus mit unterschiedlichen Frequenzen und Amplituden. Die Fourier-Reihe ist ein Zweig der Fourier-Analyse und wurde von Joseph Fourier eingeführt. Die Fourier-Transformation ist eine mathematische Operation, bei der ein Signal in seine Teilfrequenzen zerlegt wird. Das ursprüngliche Signal, das sich im Laufe der Zeit geändert hat, wird als Zeitbereichsdarstellung des Signals bezeichnet. Die Fourier-Transformation wird als Frequenzbereichsdarstellung eines Signals bezeichnet, da sie von der Frequenz abhängt. Sowohl die Frequenzdomänendarstellung eines Signals als auch der Prozess, der zum Transformieren dieses Signals in den Frequenzbereich verwendet wird, werden als Fourier-Transformation bezeichnet.
Was ist die Fourier-Reihe?
Wie bereits erwähnt, ist die Fourier-Reihe eine Erweiterung einer periodischen Funktion unter Verwendung einer unendlichen Summe von Sinus und Cosinus. Die Fourier-Reihe wurde ursprünglich beim Lösen von Wärmegleichungen entwickelt, später wurde jedoch herausgefunden, dass dieselbe Technik verwendet werden kann, um einen großen Satz mathematischer Probleme zu lösen, insbesondere die Probleme, die lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beinhalten. Jetzt hat die Fourier-Reihe Anwendungen in einer Vielzahl von Bereichen, einschließlich Elektrotechnik, Schwingungsanalyse, Akustik, Optik, Signalverarbeitung, Bildverarbeitung, Quantenmechanik und Ökonometrie. Fourierreihen verwenden die Orthogonalitätsbeziehungen von Sinus- und Cosinusfunktionen. Die Berechnung und Untersuchung von Fourier-Reihen ist als harmonische Analyse bekannt und sehr nützlich, wenn mit beliebigen periodischen Funktionen gearbeitet wird.da es erlaubt, die Funktion in einfache Begriffe zu zerlegen, die verwendet werden können, um eine Lösung für das ursprüngliche Problem zu erhalten.
Was ist Fourier-Transformation?
Die Fourier-Transformation definiert eine Beziehung zwischen einem Signal im Zeitbereich und seiner Darstellung im Frequenzbereich. Die Fourier-Transformation zerlegt eine Funktion in Schwingungsfunktionen. Da es sich um eine Transformation handelt, kann das ursprüngliche Signal aus der Kenntnis der Transformation erhalten werden, sodass keine Informationen erzeugt werden oder dabei verloren gehen. Das Studium der Fourier-Reihen liefert tatsächlich die Motivation für die Fourier-Transformation. Aufgrund der Eigenschaften von Sinus und Cosinus ist es möglich, die Menge jeder Welle, die zur Summe beiträgt, unter Verwendung eines Integrals wiederzugewinnen. Die Fourier-Transformation hat einige grundlegende Eigenschaften wie Linearität, Translation, Modulation, Skalierung, Konjugation, Dualität und Faltung. Die Fourier-Transformation wird beim Lösen von Differentialgleichungen angewendet, da die Fourier-Transformation eng mit der Laplace-Transformation verwandt ist. Die Fourier-Transformation wird auch in der Kernspinresonanz (NMR) und in anderen Arten der Spektroskopie verwendet.
Unterschied zwischen Fourier-Reihen und Fourier-Transformation
Die Fourier-Reihe ist eine Erweiterung des periodischen Signals als lineare Kombination von Sinus und Cosinus, während die Fourier-Transformation der Prozess oder die Funktion ist, mit der Signale vom Zeitbereich in den Frequenzbereich umgewandelt werden. Die Fourier-Reihe ist für periodische Signale definiert und die Fourier-Transformation kann auf aperiodische (ohne Periodizität auftretende) Signale angewendet werden. Wie oben erwähnt, liefert das Studium der Fourier-Reihen tatsächlich Motivation für die Fourier-Transformation.
