Riemann Integral gegen Lebesgue Integral
Integration ist ein Hauptthema in der Analysis. Integration kann im weiteren Sinne als umgekehrter Differenzierungsprozess angesehen werden. Bei der Modellierung realer Probleme ist es einfach, Ausdrücke mit Derivaten zu schreiben. In einer solchen Situation ist die Integrationsoperation erforderlich, um die Funktion zu finden, die die bestimmte Ableitung ergab.
Aus einem anderen Blickwinkel ist Integration ein Prozess, der das Produkt einer Funktion ƒ (x) und δx zusammenfasst, wobei δx dazu neigt, eine bestimmte Grenze zu sein. Aus diesem Grund verwenden wir das Integrationssymbol als ∫. Das Symbol ∫ ist in der Tat das, was wir erhalten, wenn wir den Buchstaben s strecken, um auf die Summe zu verweisen.
Riemann Integral
Betrachten Sie eine Funktion y = ƒ (x). Das Integral von y zwischen a und b, wobei a und b zu einer Menge x gehören, wird geschrieben als b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Dies nennt man ein bestimmtes Integral der einwertigen und stetigen Funktion y = ƒ (x) zwischen a und b. Dies ergibt die Fläche unter der Kurve zwischen a und b. Dies wird auch als Riemann-Integral bezeichnet. Das Riemann-Integral wurde von Bernhard Riemann erstellt. Das Riemann-Integral einer stetigen Funktion basiert auf dem Jordan-Maß und wird daher auch als Grenze der Riemann-Summen der Funktion definiert. Für eine reelle Wertfunktion, die in einem geschlossenen Intervall definiert ist, ist das Riemannsche Integral der Funktion in Bezug auf eine Partition x 1, x 2,…, x ndefiniert auf dem Intervall [a, b] und t 1, t 2,…, t n, wobei x i ≤ t i ≤ x i + 1 für jedes i ε {1, 2,…, n} ist, ist die Riemann-Summe definiert als Σ i = o bis n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue ist eine andere Art von Integral, die eine Vielzahl von Fällen abdeckt als das Riemannsche Integral. Das Lebesgue-Integral wurde 1902 von Henri Lebesgue eingeführt. Die Legesgue-Integration kann als Verallgemeinerung der Riemann-Integration angesehen werden.
Warum müssen wir ein anderes Integral studieren?
Betrachten wir die charakteristische Funktion ƒ A (x) = { 0 wenn, x nicht ε A 1 wenn, x ε A auf einer Menge A. Dann endliche lineare Kombination charakteristischer Funktionen, definiert als F (x) = Σ a i ƒ E i (x) heißt die einfache Funktion, wenn E i für jedes i messbar ist. Das Lebesgue-Integral von F (x) über E wird mit E ∫ ƒ (x) dx bezeichnet. Die Funktion F (x) ist nicht Riemann-integrierbar. Daher ist das Lebesgue-Integral die Umformulierung des Riemann-Integrals, das einige Einschränkungen hinsichtlich der zu integrierenden Funktionen aufweist.
Was ist der Unterschied zwischen Riemann Integral und Lebesgue Integral?
· Das Lebesgue-Integral ist eine Verallgemeinerungsform des Riemann-Integrals.
· Das Lebesgue-Integral ermöglicht eine zählbare Unendlichkeit von Diskontinuitäten, während das Riemann-Integral eine endliche Anzahl von Diskontinuitäten zulässt.
