Logarithmisch vs exponentiell | Exponentialfunktion vs logarithmische Funktion
Funktionen sind eine der wichtigsten Klassen mathematischer Objekte, die in fast allen Teilbereichen der Mathematik häufig verwendet werden. Wie ihre Namen andeuten, sind sowohl die Exponentialfunktion als auch die logarithmische Funktion zwei spezielle Funktionen.
Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die so definiert ist, dass für jedes Element in der ersten Menge der Wert, der ihr in der zweiten Menge entspricht, eindeutig ist. Sei ƒ eine Funktion, die von der Menge A in die Menge B definiert ist. Dann bezeichnet das Symbol ƒ (x) für jedes x ϵ A den eindeutigen Wert in der Menge B, der x entspricht. Es heißt das Bild von x unter ƒ. Daher ist eine Beziehung ƒ von A nach B genau dann eine Funktion, wenn für jedes x ϵ A und y ϵ A, wenn x = y, dann ƒ (x) = ƒ (y). Die Menge A heißt die Domäne der Funktion ƒ und ist die Menge, in der die Funktion definiert ist.
Was ist Exponentialfunktion?
Die Exponentialfunktion ist die durch ƒ (x) = e x gegebene Funktion, wobei e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2.718…) und eine transzendentale irrationale Zahl ist. Eine der Besonderheiten der Funktion ist, dass die Ableitung der Funktion gleich sich selbst ist; dh wenn y = e x ist, ist dy / dx = e x. Die Funktion ist auch eine überall kontinuierlich ansteigende Funktion mit der x-Achse als Asymptote. Daher ist die Funktion auch eins zu eins. Für jedes x ϵ R haben wir e x > 0, und es kann gezeigt werden, dass es auf R + liegt. Es folgt auch die Grundidentität e x + y = e x.e y und e 0= 1. Die Funktion kann auch mit der durch 1 + x / 1 gegebenen Reihenerweiterung dargestellt werden! + X 2 /2 spielen ! + X 3 /3 treffen +… + X n / n! +…
Was ist eine logarithmische Funktion?
Die logarithmische Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Da die Exponentialfunktion eins zu eins und auf R + ist, kann eine Funktion g aus der Menge positiver reeller Zahlen in die Menge reeller Zahlen definiert werden, die durch g (y) = x gegeben ist, genau dann, wenn y = e x. Diese Funktion g wird als logarithmische Funktion oder am häufigsten als natürlicher Logarithmus bezeichnet. Es wird mit g (x) = log e x = ln x bezeichnet. Da es die Umkehrung der Exponentialfunktion ist, haben wir den Graphen der logarithmischen Funktion, wenn wir die Reflexion des Graphen der Exponentialfunktion über die Linie y = x nehmen. Somit ist die Funktion zur y-Achse asymptotisch.
Die logarithmische Funktion folgt einigen Grundregeln, von denen ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y und ln xy = y ln x die wichtigsten sind. Dies ist auch eine zunehmende Funktion und sie ist überall kontinuierlich. Daher ist es auch eins zu eins. Es kann gezeigt werden, dass es auf R ist.
Was ist der Unterschied zwischen Exponentialfunktion und logarithmischer Funktion?
• Die Exponentialfunktion ist gegeben durch ƒ (x) = e x, während die logarithmische Funktion gegeben ist durch g (x) = ln x, und erstere ist die Umkehrung der letzteren.
• Die Domäne der Exponentialfunktion ist eine Menge von reellen Zahlen, aber die Domäne der logarithmischen Funktion ist eine Menge von positiven reellen Zahlen.
• Der Bereich der Exponentialfunktion ist eine Menge positiver reeller Zahlen, aber der Bereich der logarithmischen Funktion ist eine Menge reeller Zahlen.
