Unterschied Zwischen Power Series Und Taylor Series

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2024-01-09 22:09

Power Series gegen Taylor Series

In der Mathematik ist eine reelle Folge eine geordnete Liste reeller Zahlen. Formal ist es eine Funktion von der Menge der natürlichen Zahlen bis zur Menge der reellen Zahlen. Wenn a _n der n- ^te Term einer Sequenz ist, bezeichnen wir die Sequenz mit oder mit ₁, a ₂,…, a _n, …. Betrachten Sie zum Beispiel die Sequenz 1, ½, ⅓,…, ¹ / _n, …. Es kann als {1 / n} bezeichnet werden.

Es ist möglich, eine Reihe mit Sequenzen zu definieren. Eine Reihe ist die Summe der Terme einer Sequenz. Daher gibt es für jede Sequenz eine zugehörige Sequenz und umgekehrt. Wenn {a _n} die betrachtete Sequenz ist, kann die durch diese Sequenz gebildete Reihe wie folgt dargestellt werden:

So wird in dem obigen Beispiel die zugehörige Serie ist 1+ ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _n + ….

Wie die Namen andeuten, handelt es sich bei der Potenzreihe um einen speziellen Serientyp, der in der numerischen Analyse und der damit verbundenen mathematischen Modellierung häufig verwendet wird. Die Taylor-Reihe ist eine spezielle Potenzreihe, die eine alternative und einfach zu manipulierende Möglichkeit bietet, bekannte Funktionen darzustellen.

Was ist die Power-Serie?

Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form

was (möglicherweise) für ein Intervall konvergiert, das bei c zentriert ist. Die Koeffizienten a _n können reelle oder komplexe Zahlen sein und sind unabhängig von x; dh die Dummy-Variable.

Zum Beispiel wird durch Setzen von _n = 1 für jedes n und c = 0 die Potenzreihe 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +… erhalten. Es ist leicht zu beobachten, dass wenn x ε (-1,1), diese Potenzreihe gegen 1 / (1-x) konvergiert.

Eine Potenzreihe konvergiert, wenn x = c ist. Die anderen Werte von x, für die die Potenzreihe konvergiert, haben immer die Form eines offenen Intervalls, das bei c zentriert ist. Das heißt, es gibt einen Wert 0 ≤ R ≤ ∞, so dass für jedes x, das | xc | ≤ R erfüllt, die Potenzreihe konvergent ist und für jedes x, das | xc |> R erfüllt, die Potenzreihe divergent ist. Dieser Wert R wird als Konvergenzradius der Potenzreihe bezeichnet (R kann einen beliebigen realen Wert oder eine positive Unendlichkeit annehmen).

Potenzreihen können nach den folgenden Regeln addiert, subtrahiert, multipliziert und geteilt werden. Betrachten Sie die beiden Potenzreihen:

Dann,

dh gleiche Begriffe werden addiert oder subtrahiert. Es ist auch möglich, die beiden Potenzreihen unter Verwendung der Identität zu multiplizieren und zu teilen.

Was ist Taylor-Serie?

Die Taylor-Reihe ist für eine Funktion f (x) definiert, die in einem Intervall unendlich differenzierbar ist. Angenommen, f (x) ist in einem bei c zentrierten Intervall differenzierbar. Dann die Potenzreihe, die gegeben ist durch

wird die Taylorreihenerweiterung der Funktion f (x) um c genannt. (Hier bezeichnet f ⁽ⁿ⁾ (c) die n- ^te Ableitung bei x = c). In der numerischen Analyse wird eine endliche Anzahl von Begriffen in dieser unendlichen Erweiterung verwendet, um Werte an Punkten zu berechnen, an denen die Reihe zur ursprünglichen Funktion konvergiert.

Eine Funktion f (x) wird im Intervall (a, b) als analytisch bezeichnet, wenn für jedes x ε (a, b) die Taylor-Reihe von f (x) gegen die Funktion f (x) konvergiert. Zum Beispiel ist 1 / (1-x) für (-1,1) analytisch, da seine Taylor-Expansion 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +… gegen die Funktion in diesem Intervall konvergiert und e ^x ist überall analytisch, da die Taylor-Reihe von e ^x für jede reelle Zahl x gegen e ^x konvergiert.

Was ist der Unterschied zwischen Power-Serien und Taylor-Serien?

1. Die Taylor-Reihe ist eine spezielle Klasse von Potenzreihen, die nur für Funktionen definiert ist, die in einem offenen Intervall unendlich differenzierbar sind.

2. Taylor-Serien nehmen die Sonderform an