Assoziativ gegen Kommutativ
In unserem täglichen Leben müssen wir Zahlen verwenden, wann immer wir ein Maß für etwas bekommen müssen. Im Lebensmittelgeschäft, an der Tankstelle und sogar in der Küche müssen wir zwei oder mehr Mengen addieren, subtrahieren und multiplizieren. Aus unserer Praxis führen wir diese Berechnungen ziemlich mühelos durch. Wir bemerken oder hinterfragen nie, warum wir diese Operationen auf diese besondere Weise ausführen. Oder warum diese Berechnungen nicht anders durchgeführt werden können. Die Antwort ist in der Art und Weise verborgen, wie diese Operationen im mathematischen Feld der Algebra definiert sind.
In der Algebra wird eine Operation mit zwei Größen (z. B. Addition) als binäre Operation definiert. Genauer gesagt handelt es sich um eine Operation zwischen zwei Elementen aus einer Menge, und diese Elemente werden als "Operand" bezeichnet. Viele Operationen in der Mathematik, einschließlich der zuvor erwähnten arithmetischen Operationen und derjenigen, die in der Mengenlehre, der linearen Algebra und der mathematischen Logik anzutreffen sind, können als binäre Operationen definiert werden.
Es gibt eine Reihe von Regeln, die sich auf eine bestimmte binäre Operation beziehen. Assoziative und kommutative Eigenschaften sind zwei grundlegende Eigenschaften der binären Operationen.
Mehr über kommutatives Eigentum
Angenommen, eine binäre Operation, die mit dem Symbol ⊗ gekennzeichnet ist, wird an den Elementen A und B ausgeführt. Wenn die Reihenfolge der Operanden das Ergebnis der Operation nicht beeinflusst, wird die Operation als kommutativ bezeichnet. dh wenn A ⊗ B = B ⊗ A ist, ist die Operation kommutativ.
Die Addition und Multiplikation der arithmetischen Operationen sind kommutativ. Die Reihenfolge der Zahlen, die addiert oder multipliziert werden, hat keinen Einfluss auf die endgültige Antwort:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Aber im Fall einer Teilungsänderung ergibt sich in der Reihenfolge der Kehrwert des anderen, und in Subtraktion ergibt die Änderung das Negativ des anderen. Deshalb,
A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 und 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 und 5 ÷ 4 = 1,25 [in diesem Fall A, B ≠ 1 und 0]
Tatsächlich soll die Subtraktion antikommutativ sein; wobei A - B = - (B - A).
Auch die logischen Verknüpfungen, die Konjunktion, Disjunktion, Implikation und die Äquivalenz sind kommutativ. Wahrheitsfunktionen sind auch kommutativ. Die festgelegte Operationsunion und der Schnittpunkt sind kommutativ. Die Addition und das Skalarprodukt der Vektoren sind ebenfalls kommutativ.
Die Vektorsubtraktion und das Vektorprodukt sind jedoch nicht kommutativ (das Vektorprodukt zweier Vektoren ist antikommutativ). Die Matrixaddition ist kommutativ, aber die Multiplikation und die Subtraktion sind nicht kommutativ. (Die Multiplikation zweier Matrizen kann in besonderen Fällen kommutativ sein, z. B. bei der Multiplikation einer Matrix mit ihrer Inversen oder der Identitätsmatrix. Auf jeden Fall sind Matrizen jedoch nicht kommutativ, wenn die Matrizen nicht dieselbe Größe haben.)
Mehr über assoziatives Eigentum
Eine binäre Operation wird als assoziativ bezeichnet, wenn die Reihenfolge der Ausführung das Ergebnis nicht beeinflusst, wenn zwei oder mehr Vorkommen des Operators vorhanden sind. Betrachten Sie die Elemente A, B und C und die Binäroperation ⊗. Die Operation ⊗ wird als assoziativ bezeichnet, wenn
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C.
Von den grundlegenden arithmetischen Funktionen sind nur Addition und Multiplikation assoziativ.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Die Subtraktion und Division sind nicht assoziativ;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 und (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 und (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Die logische Konnektivität Disjunktion, Konjunktion und Äquivalenz sind assoziativ, ebenso wie die Menge Operationen Vereinigung und Schnittmenge. Die Matrix- und Vektoraddition sind assoziativ. Das Skalarprodukt von Vektoren ist assoziativ, das Vektorprodukt jedoch nicht. Die Matrixmultiplikation ist nur unter besonderen Umständen assoziativ.
Was ist der Unterschied zwischen kommutativem und assoziativem Eigentum?
• Sowohl die assoziative Eigenschaft als auch die kommutative Eigenschaft sind spezielle Eigenschaften der binären Operationen, und einige erfüllen sie, andere nicht.
• Diese Eigenschaften können in vielen Formen von algebraischen Operationen und anderen binären Operationen in der Mathematik gesehen werden, wie z. B. der Schnittmenge und Vereinigung in der Mengenlehre oder den logischen Konnektiven.
• Der Unterschied zwischen kommutativ und assoziativ besteht darin, dass die kommutative Eigenschaft angibt, dass die Reihenfolge der Elemente das Endergebnis nicht ändert, während die assoziative Eigenschaft angibt, dass die Reihenfolge, in der die Operation ausgeführt wird, die endgültige Antwort nicht beeinflusst.
