Transponieren vs Inverse Matrix
Die Transponierte und die Inverse sind zwei Arten von Matrizen mit besonderen Eigenschaften, denen wir in der Matrixalgebra begegnen. Sie unterscheiden sich voneinander und haben keine enge Beziehung, da die Operationen, mit denen sie erhalten werden, unterschiedlich sind.
Sie haben breite Anwendungen auf dem Gebiet der linearen Algebra und der daraus abgeleiteten Implementierungen wie der Informatik.
Mehr über Transponierte Matrix
Die Transponierung einer Matrix A kann als die Matrix identifiziert werden, die durch Umordnen von Spalten als Zeilen oder Zeilen als Spalten erhalten wird. Infolgedessen werden die Indizes jedes Elements vertauscht. Formaler ist die Transponierung der Matrix A definiert als
wo
In einer Transponierungsmatrix bleibt die Diagonale unverändert, aber alle anderen Elemente werden um die Diagonale gedreht. Auch die Größe der Matrizen ändert sich von m × n zu n × m.
Die Transponierte hat einige wichtige Eigenschaften und ermöglicht eine einfachere Manipulation von Matrizen. Außerdem werden einige wichtige Transponierungsmatrizen basierend auf ihren Eigenschaften definiert. Wenn die Matrix gleich ihrer Transponierten ist, ist die Matrix symmetrisch. Wenn die Matrix gleich dem Negativ der Transponierten ist, ist die Matrix eine Schrägsymmetrie. Die konjugierte Transponierte einer Matrix ist die Transponierte der Matrix, wobei die Elemente durch ihr komplexes Konjugat ersetzt werden.
Mehr über Inverse Matrix
Inverse einer Matrix ist definiert als eine Matrix, die die Identitätsmatrix ergibt, wenn sie miteinander multipliziert wird. Wenn also AB = BA = I ist, dann ist B per Definition die inverse Matrix von A und A ist die inverse Matrix von B. Wenn wir also B = A -1 betrachten, dann ist AA -1 = A -1 A = I.
Damit eine Matrix invertierbar ist, ist die notwendige und ausreichende Bedingung, dass die Determinante von A nicht Null ist; dh | A | = det (A) ≠ 0. Eine Matrix wird als invertierbar, nicht singulär oder nicht degenerativ bezeichnet, wenn sie diese Bedingung erfüllt. Daraus folgt, dass A eine quadratische Matrix ist und sowohl A -1 als auch A die gleiche Größe haben.
Die Umkehrung der Matrix A kann mit vielen Methoden in der linearen Algebra berechnet werden, wie z. B. Gaußsche Eliminierung, Eigendekomposition, Cholesky-Zerlegung und Carmer-Regel. Eine Matrix kann auch durch Blockinversionsverfahren und Neuman-Reihen invertiert werden.
Was ist der Unterschied zwischen Transponierter und Inverser Matrix?
• Die Transponierung wird durch Umordnen der Spalten und Zeilen in der Matrix erhalten, während die Umkehrung durch eine relativ schwierige numerische Berechnung erhalten wird. (Aber in Wirklichkeit sind beide lineare Transformationen)
• Als direktes Ergebnis ändern die Elemente in der Transponierten nur ihre Position, aber die Werte sind dieselben. Umgekehrt können sich die Zahlen jedoch vollständig von der ursprünglichen Matrix unterscheiden.
• Jede Matrix kann eine Transponierte haben, aber die Umkehrung ist nur für quadratische Matrizen definiert, und die Determinante muss eine Determinante ungleich Null sein.
