Parallelogramm gegen Viereck
Vierecke und Parallelogramme sind Polygone, die in der euklidischen Geometrie gefunden werden. Das Parallelogramm ist ein Sonderfall des Vierecks. Vierecke können entweder planar (2D) oder dreidimensional sein, während Parallelogramme immer planar sind.
Viereck
Viereck ist ein Polygon mit vier Seiten. Es hat vier Eckpunkte und die Summe der Innenwinkel beträgt 3600 (2π rad). Vierecke werden in sich selbst überschneidende und einfache viereckige Kategorien eingeteilt. Die sich selbst schneidenden Vierecke haben zwei oder mehr Seiten, die sich kreuzen, und kleinere geometrische Figuren (wie Dreiecke werden innerhalb des Vierecks gebildet).
Die einfachen Vierecke sind ebenfalls in konvexe und konkave Vierecke unterteilt. Konkave Vierecke haben benachbarte Seiten, die innerhalb der Figur Reflexwinkel bilden. Die einfachen Vierecke, die intern keine Reflexwinkel haben, sind konvexe Vierecke. Die konvexen Vierecke können immer Tessellationen haben.
Ein Großteil der Geometrie von Vierecken auf den Anfangsebenen betrifft die konvexen Vierecke. Einige Vierecke sind uns aus der Zeit der Grundschule sehr vertraut. Das folgende Diagramm zeigt verschiedene konvexe Vierecke.
Parallelogramm
Das Parallelogramm kann als geometrische Figur mit vier Seiten definiert werden, wobei die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind. Genauer gesagt handelt es sich um ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten. Diese Parallelität verleiht den Parallelogrammen viele geometrische Eigenschaften.
Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn folgende geometrische Merkmale gefunden werden.
• Zwei Paare gegenüberliegender Seiten sind gleich lang. (AB = DC, AD = BC)
• Zwei Paare entgegengesetzter Winkel sind gleich groß. (
)
• Wenn die benachbarten Winkel sich ergänzen
• Ein Paar von Seiten, die sich gegenüberliegen, ist parallel und gleich lang. (AB = DC & AB∥DC)
• Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig (AO = OC, BO = OD)
• Jede Diagonale teilt das Viereck in zwei kongruente Dreiecke. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Ferner ist die Summe der Quadrate der Seiten gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen. Dies wird manchmal als Parallelogrammgesetz bezeichnet und ist in der Physik und Technik weit verbreitet. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Jedes der oben genannten Merkmale kann als Eigenschaften verwendet werden, sobald festgestellt wurde, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
Die Fläche des Parallelogramms kann durch das Produkt aus der Länge einer Seite und der Höhe zur gegenüberliegenden Seite berechnet werden. Daher kann die Fläche des Parallelogramms als angegeben werden
Fläche des Parallelogramms = Basis × Höhe = AB × h
Die Fläche des Parallelogramms ist unabhängig von der Form des einzelnen Parallelogramms. Es ist nur abhängig von der Länge der Basis und der senkrechten Höhe.
Wenn die Seiten eines Parallelogramms durch zwei Vektoren dargestellt werden können, kann die Fläche durch die Größe des Vektorprodukts (Kreuzprodukts) der beiden benachbarten Vektoren erhalten werden.
Wenn die Seiten AB und AD durch die Vektoren (
) bzw. (
) dargestellt werden, ist die Fläche des Parallelogramms gegeben durch
wobei α der Winkel zwischen
und ist
Im Folgenden sind einige erweiterte Eigenschaften des Parallelogramms aufgeführt.
• Die Fläche eines Parallelogramms ist doppelt so groß wie die Fläche eines Dreiecks, das durch eine seiner Diagonalen erzeugt wird.
• Der Bereich des Parallelogramms wird durch eine Linie, die durch den Mittelpunkt verläuft, in zwei Hälften geteilt.
• Jede nicht entartete affine Transformation führt ein Parallelogramm zu einem anderen Parallelogramm
• Ein Parallelogramm hat eine Rotationssymmetrie der Ordnung 2
• Die Summe der Abstände von einem inneren Punkt eines Parallelogramms zu den Seiten ist unabhängig von der Position des Punkts
Was ist der Unterschied zwischen Parallelogramm und Viereck?
• Vierecke sind Polygone mit vier Seiten (manchmal auch Tetragone genannt), während das Parallelogramm ein spezieller Typ eines Vierecks ist.
• Vierecke können ihre Seiten in verschiedenen Ebenen (im 3D-Raum) haben, während alle Seiten des Parallelogramms auf derselben Ebene liegen (planar / zweidimensional).
• Innenwinkel des Vierecks können einen beliebigen Wert (einschließlich Reflexwinkel) annehmen, so dass sie sich zu 3600 addieren. Parallelogramme können nur stumpfe Winkel als maximale Winkelart haben.
• Vier Seiten des Vierecks können unterschiedlich lang sein, während die gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms immer parallel zueinander und gleich lang sind.
• Jede Diagonale teilt das Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke, während die durch die Diagonale eines allgemeinen Vierecks gebildeten Dreiecke nicht unbedingt kongruent sind.
