Diskrete Funktion vs kontinuierliche Funktion
Funktionen sind eine der wichtigsten Klassen mathematischer Objekte, die in fast allen Teilbereichen der Mathematik häufig verwendet werden. Wie ihre Namen andeuten, sind sowohl diskrete Funktionen als auch kontinuierliche Funktionen zwei spezielle Arten von Funktionen.
Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die so definiert ist, dass für jedes Element in der ersten Menge der Wert, der ihr in der zweiten Menge entspricht, eindeutig ist. Sei f eine Funktion, die von der Menge A in die Menge B definiert ist. Dann bezeichnet das Symbol f (x) für jedes x ϵ A den eindeutigen Wert in der Menge B, der x entspricht. Es heißt das Bild von x unter f. Daher ist eine Beziehung f von A nach B genau dann eine Funktion, wenn für jedes xϵ A und y ϵ A; wenn x = y, dann ist f (x) = f (y). Die Menge A heißt die Domäne der Funktion f und ist die Menge, in der die Funktion definiert ist.
Betrachten Sie zum Beispiel die Beziehung f von R nach R, definiert durch f (x) = x + 2 für jedes xϵ A. Dies ist eine Funktion, deren Domäne R ist, da für jede reelle Zahl x und y x = y f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y) impliziert. Aber die Beziehung g von N nach N, definiert durch g (x) = a, wobei 'a' ein Primfaktor von x ist, ist keine Funktion als g (6) = 3 sowie g (6) = 2.
Was ist eine diskrete Funktion?
Eine diskrete Funktion ist eine Funktion, deren Domäne höchstens zählbar ist. Dies bedeutet einfach, dass es möglich ist, eine Liste zu erstellen, die alle Elemente der Domäne enthält.
Jede endliche Menge ist höchstens zählbar. Die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen sind Beispiele für höchstens zählbare unendliche Mengen. Die Menge der reellen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen sind höchstens zählbar. Beide Sets sind unzählig. Dies bedeutet, dass es unmöglich ist, eine Liste zu erstellen, die alle Elemente dieser Mengen enthält.
Eine der häufigsten diskreten Funktionen ist die Fakultätsfunktion. f: NU {0} → N rekursiv definiert durch f (n) = nf (n-1) für jedes n ≥ 1 und f (0) = 1 wird als Fakultätsfunktion bezeichnet. Beachten Sie, dass die Domain NU {0} höchstens abzählbar ist.
Was ist eine stetige Funktion?
Sei f eine solche Funktion, dass für jedes k in der Domäne von f f (x) → f (k) als x → k gilt. Dann ist f eine stetige Funktion. Dies bedeutet, dass es möglich ist, f (x) beliebig nahe an f (k) zu bringen, indem x für jedes k in der Domäne von f ausreichend nahe an k gebracht wird.
Betrachten Sie die Funktion f (x) = x + 2 auf R. Es ist ersichtlich, dass als x → k, x + 2 → k + 2 f (x) → f (k) ist. Daher ist f eine stetige Funktion. Betrachten Sie nun g für positive reelle Zahlen g (x) = 1, wenn x> 0 und g (x) = 0, wenn x = 0. Dann ist diese Funktion keine stetige Funktion, da die Grenze von g (x) nicht existiert (und daher ist es nicht gleich g (0)) als x → 0.
Was ist der Unterschied zwischen diskreter und kontinuierlicher Funktion?
• Eine diskrete Funktion ist eine Funktion, deren Domäne höchstens abzählbar ist, bei kontinuierlichen Funktionen jedoch nicht.
• Alle stetigen Funktionen ƒ haben die Eigenschaft, dass ƒ (x) → ƒ (k) als x → k für jedes x und für jedes k im Bereich von ƒ gilt, dies ist jedoch bei einigen diskreten Funktionen nicht der Fall.
