Reelle Zahlen gegen imaginäre Zahlen
Zahlen sind mathematische Objekte, die zum Zählen und Messen verwendet werden. Die Definition hat sich im Laufe der Jahre geändert, indem Null, negative Zahlen, rationale Zahlen, irrationale Zahlen und imaginäre Zahlen hinzugefügt wurden. Obwohl sich die abstrakte Grundlage von Zahlensystemen auf algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Felder bezieht, wird hier nur eine intuitive Idee vorgestellt.
Was ist eine reelle Zahl?
Informell definiert, ist eine reelle Zahl eine Zahl, deren Quadrat nicht negativ ist. In der mathematischen Notation bezeichnen wir die Menge der reellen Zahlen mit dem Symbol R. Wenn also für alle x x ϵ R ist, dann ist x 2 ≥ 0. Auf strengere Weise kann die Menge der reellen Zahlen als eindeutiges, vollständig geordnetes Feld mit der Binäroperation + und eingeführt werden. zusammen mit der Ordnungsrelation <. Diese Ordnungsrelation folgt dem Trichotomiegesetz, das besagt, dass bei zwei reellen Zahlen x und y eine und nur eine dieser drei gilt; x> y, x <y oder x = y.
Eine reelle Zahl kann entweder algebraisch oder transzendent sein, je nachdem, ob sie eine Wurzel einer Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist oder nicht. Außerdem kann eine reelle Zahl entweder rational oder irrational sein, je nachdem, ob sie als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen ausgedrückt werden kann oder nicht. Zum Beispiel ist 2.5 eine reelle Zahl, die algebraisch und rational ist, aber ᴫ ist sowohl irrational als auch transzendent.
Der Satz reeller Zahlen ist vollständig. Dies bedeutet, dass für jede nicht leere Teilmenge von reellen Zahlen, die oben begrenzt ist, eine kleinste Obergrenze vorliegt, und daraus kann abgeleitet werden, dass für jede nicht leere Teilmenge von reellen Zahlen, die unten begrenzt ist, die größte Untergrenze gilt. Dies unterscheidet die Menge der reellen Zahlen von der Menge der rationalen Zahlen. Man kann argumentieren, dass die Menge der reellen Zahlen aufgebaut wird, indem die Lücken der Menge unvollständiger rationaler Zahlen gefüllt werden, wobei die Lücken irrationale Zahlen sind.
Was ist eine imaginäre Zahl?
Eine imaginäre Zahl ist eine Zahl, deren Quadrat negativ ist. Mit anderen Worten, Zahlen wie √ (-1), √ (-100) und √ (- e) sind imaginäre Zahlen. Alle imaginären Zahlen können in der Form ai geschrieben werden, wobei i die 'imaginäre Einheit' √ (-1) und a eine reelle Zahl ungleich Null ist. (Beachten Sie, dass i 2 = -1 ist). Obwohl diese Zahlen nicht real zu sein scheinen und, wie der Name schon sagt, nicht existieren, werden sie in vielen wesentlichen realen Anwendungen in Bereichen wie Luftfahrt, Elektronik und Ingenieurwesen verwendet.
Was ist der Unterschied zwischen reellen und imaginären Zahlen?
• Das Quadrat einer reellen Zahl ist nicht negativ, aber das Quadrat einer imaginären Zahl ist negativ.
• Die Menge der reellen Zahlen bildet ein vollständiges, vollständig geordnetes Feld, während die Menge der imaginären Zahlen weder vollständig noch geordnet ist.
