Binomial vs Normalverteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen spielen im Bereich der Statistik eine wichtige Rolle. Von diesen Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind Binomialverteilung und Normalverteilung zwei der am häufigsten vorkommenden im wirklichen Leben.
Was ist Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die der Zufallsvariablen X entspricht. Dies ist die Anzahl der Erfolge einer endlichen Folge unabhängiger Ja / Nein-Experimente, von denen jedes eine Erfolgswahrscheinlichkeit p aufweist. Aus der Definition von X ist ersichtlich, dass es sich um eine diskrete Zufallsvariable handelt; Daher ist auch die Binomialverteilung diskret.
Die Verteilung wird als X ~ B (n, p) bezeichnet, wobei n die Anzahl der Experimente und p die Erfolgswahrscheinlichkeit ist. Nach der Wahrscheinlichkeitstheorie können wir schließen, dass B (n, p) der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion folgt
. Aus dieser Gleichung kann weiter abgeleitet werden, dass der erwartete Wert von X, E (X) = np und die Varianz von X, V (X) = np (1 - p).
Stellen Sie sich zum Beispiel ein zufälliges Experiment vor, bei dem eine Münze dreimal geworfen wird. Definieren Sie Erfolg als Erhalt von H, Misserfolg als Erhalt von T und die Zufallsvariable X als Anzahl der Erfolge im Experiment. Dann ist X ~ B (3, 0,5) und die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X gegeben durch
. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 H zu erhalten, P (X ≥ 2) = P (X = 2 oder X = 3) = P (X = 2) + P (X = 3) = 3 C 2 (0,5 2) (0,5 1) + 3 C 3 (0,5 3) (0,5 0) = 0,375 + 0,125 = 0,5.
Was ist Normalverteilung?
Die Normalverteilung ist die kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion definiert wird
. Die Parameter
bezeichnen den Mittelwert und die Standardabweichung der interessierenden Population. Wenn
die Verteilung als Standardnormalverteilung bezeichnet wird.
Diese Verteilung wird als Normalverteilung bezeichnet, da die meisten Naturphänomene der Normalverteilung folgen. Zum Beispiel ist der IQ der menschlichen Bevölkerung normal verteilt. Wie aus der Grafik ersichtlich, ist es unimodal, symmetrisch zum Mittelwert und glockenförmig. Mittelwert, Modus und Median stimmen überein. Die Fläche unter der Kurve entspricht dem Teil der Bevölkerung, der eine bestimmte Bedingung erfüllt.
Die Teile der Bevölkerung in dem Intervall
,
,
sind etwa 68,2%, 95,6% und 99,8% betragen.
Was ist der Unterschied zwischen Binomial- und Normalverteilung?
- Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, während die Normalverteilung eine kontinuierliche ist.
-
Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Binomialverteilung ist
während die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung ist
- Die Binomialverteilung wird unter bestimmten Bedingungen mit der Normalverteilung angenähert, nicht jedoch umgekehrt.
