Lineare vs nichtlineare Differentialgleichungen
Eine Gleichung, die mindestens einen Differentialkoeffizienten oder eine Ableitung einer unbekannten Variablen enthält, ist als Differentialgleichung bekannt. Eine Differentialgleichung kann entweder linear oder nichtlinear sein. In diesem Artikel wird erläutert, was eine lineare Differentialgleichung ist, was eine nichtlineare Differentialgleichung ist und was der Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen ist.
Seit der Entwicklung der Analysis im 18. Jahrhundert durch Mathematiker wie Newton und Leibnitz hat die Differentialgleichung eine wichtige Rolle in der Geschichte der Mathematik gespielt. Differentialgleichungen sind in der Mathematik aufgrund ihres Anwendungsbereichs von großer Bedeutung. Differentialgleichungen sind das Herzstück jedes Modells, das wir entwickeln, um jedes Szenario oder Ereignis auf der Welt zu erklären, sei es in den Bereichen Physik, Ingenieurwesen, Chemie, Statistik, Finanzanalyse oder Biologie (die Liste ist endlos). Bis sich der Kalkül zu einer etablierten Theorie entwickelte, standen keine geeigneten mathematischen Werkzeuge zur Verfügung, um die interessanten Probleme in der Natur zu analysieren.
Resultierende Gleichungen aus einer bestimmten Anwendung von Kalkül können sehr komplex und manchmal nicht lösbar sein. Es gibt jedoch solche, die wir lösen können, die jedoch ähnlich und verwirrend aussehen können. Zur einfacheren Identifizierung werden Differentialgleichungen daher nach ihrem mathematischen Verhalten kategorisiert. Linear und nichtlinear ist eine solche Kategorisierung. Es ist wichtig, den Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen zu identifizieren.
Was ist eine lineare Differentialgleichung?
Angenommen, f: X → Y und f (x) = y, eine Differentialgleichung ohne nichtlineare Terme der unbekannten Funktion y und ihrer Ableitungen ist als lineare Differentialgleichung bekannt.
Es setzt die Bedingung voraus, dass y keine höheren Indexterme wie y 2, y 3,… und Vielfache von Derivaten wie z
Es kann auch keine nichtlinearen Terme wie Sin y, e y ^ -2 oder ln y enthalten. Es nimmt die Form an,
wobei y und g Funktionen von x sind. Die Gleichung ist eine Differentialgleichung der Ordnung n, die der Index der Ableitung höchster Ordnung ist.
In einer linearen Differentialgleichung ist der Differentialoperator ein linearer Operator und die Lösungen bilden einen Vektorraum. Aufgrund der linearen Natur des Lösungssatzes ist eine lineare Kombination der Lösungen auch eine Lösung für die Differentialgleichung. Das heißt, wenn y 1 und y 2 Lösungen der Differentialgleichung sind, dann ist C 1 y 1 + C 2 y 2 auch eine Lösung.
Die Linearität der Gleichung ist nur ein Parameter der Klassifizierung und kann ferner in homogene oder nicht homogene und gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen eingeteilt werden. Wenn die Funktion g = 0 ist, ist die Gleichung eine lineare homogene Differentialgleichung. Wenn f eine Funktion von zwei oder mehr unabhängigen Variablen (f: X, T → Y) und f (x, t) = y ist, dann ist die Gleichung eine lineare partielle Differentialgleichung.
Die Lösungsmethode für die Differentialgleichung hängt vom Typ und den Koeffizienten der Differentialgleichung ab. Der einfachste Fall tritt auf, wenn die Koeffizienten konstant sind. Ein klassisches Beispiel für diesen Fall ist Newtons zweites Bewegungsgesetz und seine verschiedenen Anwendungen. Newtons zweites Gesetz erzeugt eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Was ist eine nichtlineare Differentialgleichung?
Gleichungen, die nichtlineare Terme enthalten, werden als nichtlineare Differentialgleichungen bezeichnet.
Alle oben genannten sind nichtlineare Differentialgleichungen. Nichtlineare Differentialgleichungen sind schwer zu lösen, daher ist eine genaue Untersuchung erforderlich, um eine korrekte Lösung zu erhalten. Bei partiellen Differentialgleichungen haben die meisten Gleichungen keine allgemeine Lösung. Daher muss jede Gleichung unabhängig behandelt werden.
Die Navier-Stokes-Gleichung und die Euler-Gleichung in der Fluiddynamik, Einsteins Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie, sind bekannte nichtlineare partielle Differentialgleichungen. Manchmal kann die Anwendung der Lagrange-Gleichung auf ein variables System zu einem System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen führen.
Was ist der Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen?
• Eine Differentialgleichung, die nur die linearen Terme der unbekannten oder abhängigen Variablen und ihrer Ableitungen enthält, wird als lineare Differentialgleichung bezeichnet. Es hat keinen Term mit einer abhängigen Indexvariablen von mehr als 1 und enthält kein Vielfaches seiner Derivate. Es kann keine nichtlinearen Funktionen wie trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen in Bezug auf die abhängige Variable haben. Jede Differentialgleichung, die die oben genannten Begriffe enthält, ist eine nichtlineare Differentialgleichung.
• Lösungen linearer Differentialgleichungen erzeugen einen Vektorraum, und der Differentialoperator ist auch ein linearer Operator im Vektorraum.
• Lösungen linearer Differentialgleichungen sind relativ einfacher und es gibt allgemeine Lösungen. Für nichtlineare Gleichungen existiert in den meisten Fällen die allgemeine Lösung nicht und die Lösung kann problemspezifisch sein. Dies macht die Lösung viel schwieriger als die linearen Gleichungen.
