Kardinal gegen Ordinal
In unserem täglichen Leben kann die Verwendung von Zahlen in verschiedenen Situationen unterschiedliche Formen annehmen. Wenn wir beispielsweise zählen, um die Größe einer Sammlung von Objekten zu ermitteln, zählen wir sie als eins, zwei, drei usw. Wenn wir etwas zählen möchten, um die Position der Objekte zu erfassen, zählen wir sie als erste, zweite, dritte usw. In der ersten Form des Zählens werden Zahlen als Kardinalzahlen bezeichnet. Bei der zweiten Zählform werden die Zahlen als Ordnungszahlen betrachtet. In diesem Zusammenhang sind die Begriffe Kardinal und Ordinal vollständig eine Frage der Linguistik; Kardinal und Ordinal sind Adjektive.
Die Ausweitung des Konzepts auf Mengen in der Mathematik zeigt jedoch eine viel tiefere und breitere Perspektive und kann nicht in einfachen Worten behandelt werden. In diesem Artikel werden wir versuchen, die grundlegenden Konzepte von Kardinal- und Ordinalzahlen in der Mathematik zu verstehen.
Formale Definitionen von Kardinal- und Ordinalzahlen sind in der Mengenlehre enthalten. Die Definitionen sind kompliziert und um sie im perfekten Sinne zu verstehen, sind Hintergrundkenntnisse in der Mengenlehre erforderlich. Daher wenden wir uns einigen Beispielen zu, um die Konzepte heuristisch zu verstehen.
Betrachten Sie die beiden Sätze {1,3,6,4,5,2} und {Bus, Auto, Fähre, Zug, Flugzeug, Hubschrauber}. Jede Menge listet eine Menge von Elementen auf, und wenn wir die Anzahl der Elemente zählen, ist es offensichtlich, dass jede die gleiche Anzahl von Elementen hat, nämlich 6. Um zu dieser Schlussfolgerung zu gelangen, haben wir die Größe einer Menge genommen und mit a mit einer anderen verglichen Nummer. Eine solche Zahl wird als Kardinalzahl bezeichnet. Daher können wir sagen, dass eine Kardinalzahl eine Zahl ist, mit der wir die Größe der endlichen Mengen vergleichen können.
Wiederum kann der erste Satz von Zahlen in aufsteigender Reihenfolge angeordnet werden, wobei die Größe jedes Elements berücksichtigt und diese verglichen werden. Bei der Bestellung werden die Nummern als Kardinäle betrachtet. Ebenso kann die Menge aller nichtnegativen ganzen Zahlen in einer Menge geordnet werden; dh {0,1,2,3,4,…..}. In diesem Fall wird die Größe der Menge jedoch unendlich, und es ist nicht möglich, sie in Form von Ordnungszahlen anzugeben. Unabhängig davon, wie groß eine Zahl ist, die Sie auswählen, um die Größe des Satzes anzugeben, bleiben in dem von Ihnen ausgewählten Satz Zahlen übrig, die nicht negative Ganzzahlen sind.
Daher definieren Mathematiker diesen unendlichen Kardinal (der der erste ist) als Aleph-0, geschrieben als א (erster Buchstabe im hebräischen Alphabet). Formal ist die Ordnungszahl der Auftragstyp eines gut geordneten Satzes. Daher kann die Ordnungszahl der endlichen Mengen durch Kardinalzahlen angegeben werden, aber für unendliche Mengen wird die Ordnungszahl durch transfinite Zahlen wie Aleph-0 angegeben.
Was ist der Unterschied zwischen Kardinal- und Ordnungszahlen?
• Die Kardinalzahl ist eine Zahl, mit der gezählt oder die Größe einer endlich geordneten Menge angegeben werden kann. Alle Kardinalzahlen sind Ordnungszahlen.
• Die Ordnungszahlen sind Zahlen, die verwendet werden, um die Größe von endlichen und unendlich geordneten Mengen anzugeben. Die Größe der endlich geordneten Mengen wird durch übliche hindu-arabische algebraische Zahlen angegeben, und die unendliche Mengengröße wird durch transfinite Zahlen angegeben.
