Bestimmte vs unbestimmte Integrale
Die Analysis ist ein wichtiger Zweig der Mathematik, und die Differenzierung spielt eine entscheidende Rolle in der Analysis. Der umgekehrte Prozess der Differenzierung ist als Integration bekannt, und die Umkehrung ist als Integral bekannt, oder einfach ausgedrückt, die Umkehrung der Differenzierung ergibt ein Integral. Basierend auf den Ergebnissen, die sie erzeugen, werden die Integrale in zwei Klassen unterteilt; bestimmte und unbestimmte Integrale.
Weitere Informationen zu unbestimmten Integralen
Das unbestimmte Integral ist eher eine allgemeine Form der Integration und kann als Anti-Derivat der betrachteten Funktion interpretiert werden. Angenommen, die Differenzierung von F ergibt f, und die Integration von f ergibt das Integral. Es wird oft geschrieben als F (x) = xƒ (x) dx oder F = ∫ƒ dx, wobei sowohl F als auch ƒ Funktionen von x sind und F differenzierbar ist. In der obigen Form wird es als Reimann-Integral bezeichnet und die resultierende Funktion begleitet eine beliebige Konstante. Ein unbestimmtes Integral erzeugt oft eine Familie von Funktionen; Daher ist das Integral unbestimmt.
Integrale und Integrationsprozesse bilden den Kern der Lösung von Differentialgleichungen. Im Gegensatz zur Differenzierung folgt die Integration jedoch nicht immer einer klaren und standardmäßigen Routine. Manchmal kann die Lösung nicht explizit als Elementarfunktion ausgedrückt werden. In diesem Fall wird die analytische Lösung häufig in Form eines unbestimmten Integrals angegeben.
Weitere Informationen zu bestimmten Integralen
Bestimmte Integrale sind die wertvollsten Gegenstücke zu unbestimmten Integralen, bei denen der Integrationsprozess tatsächlich eine endliche Zahl erzeugt. Sie kann grafisch als der Bereich definiert werden, der innerhalb eines bestimmten Intervalls durch die Kurve der Funktion ƒ begrenzt wird. Immer dann, wenn die Integration innerhalb eines gegebenen Intervalls der unabhängigen Variablen durchgeführt wird, erzeugt die Integration einen bestimmten Wert, die häufig als geschrieben wird eine ∫ b ƒ (x) dx oder a ∫ b ƒdx.
Die unbestimmten Integrale und bestimmten Integrale sind durch den ersten fundamentalen Satz der Analysis miteinander verbunden, und dies ermöglicht die Berechnung des bestimmten Integrals unter Verwendung der unbestimmten Integrale. Der Satz besagt a ∫ b ƒ (x) dx = F (b) -F (a), wobei sowohl F als auch ƒ Funktionen von x sind und F im Intervall (a, b) differenzierbar ist. In Anbetracht des Intervalls sind a und b als Untergrenze bzw. Obergrenze bekannt.
Anstatt nur mit realen Funktionen anzuhalten, kann die Integration auf komplexe Funktionen erweitert werden, und diese Integrale werden Konturintegrale genannt, wobei ƒ eine Funktion der komplexen Variablen ist.
Was ist der Unterschied zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen?
Unbestimmte Integrale repräsentieren das Anti-Derivat einer Funktion und oft eher eine Familie von Funktionen als eine bestimmte Lösung. In bestimmten Integralen ergibt die Integration eine endliche Zahl.
Unbestimmte Integrale assoziieren eine beliebige Variable (daher die Funktionsfamilie) und bestimmte Integrale haben keine beliebige Konstante, sondern eine Obergrenze und eine Untergrenze der Integration.
Das unbestimmte Integral gibt normalerweise eine allgemeine Lösung für die Differentialgleichung.
