Unterschied Zwischen Integration Und Summation

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-16 08:37

Integration vs Summation

In der Mathematik der Oberstufe finden sich Integration und Summation häufig in mathematischen Operationen. Sie werden scheinbar als unterschiedliche Werkzeuge und in unterschiedlichen Situationen eingesetzt, haben jedoch eine sehr enge Beziehung.

Mehr über Summation

Summation ist die Operation des Hinzufügens einer Folge von Zahlen, und die Operation wird häufig mit dem griechischen Großbuchstaben Sigma Σ bezeichnet. Es wird verwendet, um die Summation abzukürzen und gleich der Summe / Summe der Sequenz zu sein. Sie werden oft verwendet, um die Reihen darzustellen, bei denen es sich im Wesentlichen um unendliche Sequenzen handelt, die zusammengefasst werden. Sie können auch verwendet werden, um die Summe von Vektoren, Matrizen oder Polynomen anzuzeigen.

Die Summierung erfolgt normalerweise für einen Wertebereich, der durch einen allgemeinen Begriff dargestellt werden kann, z. B. eine Reihe mit einem gemeinsamen Begriff. Der Startpunkt und der Endpunkt der Summation werden als Untergrenze bzw. Obergrenze der Summation bezeichnet.

Zum Beispiel ist die Summe der Folgen a ₁, a ₂, a ₃, a ₄,…, a _n eine ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n, die leicht unter Verwendung der Summationsnotation als ∑ ^{n dargestellt werden kann} _{i = 1} a _i; Ich werde der Index der Summation genannt.

Für die Summierung werden je nach Anwendung viele Variationen verwendet. In einigen Fällen können die Ober- und Untergrenze als Intervall oder Bereich angegeben werden, z. B. ∑ 1 _{≤ i ≤ 100} a _i und ∑ _{i ∈ [1.100]} a _i. Oder es kann als eine Menge von Zahlen wie ∑ _i∑P a _{i angegeben werden}, wobei P eine definierte Menge ist.

In einigen Fällen können zwei oder mehr Sigma-Zeichen verwendet werden, sie können jedoch wie folgt verallgemeinert werden: ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Die Summierung folgt auch vielen algebraischen Regeln. Da die eingebettete Operation die Addition ist, können viele der allgemeinen Regeln der Algebra auf die Summen selbst und auf die einzelnen durch die Summierung dargestellten Begriffe angewendet werden.

Mehr zur Integration

Die Integration wird als umgekehrter Differenzierungsprozess definiert. In seiner geometrischen Ansicht kann es aber auch als der Bereich betrachtet werden, der von der Kurve der Funktion und der Achse umschlossen ist. Daher ergibt die Berechnung der Fläche den Wert eines bestimmten Integrals, wie im Diagramm gezeigt.

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Der Wert des bestimmten Integrals ist tatsächlich die Summe der kleinen Streifen innerhalb der Kurve und der Achse. Die Fläche jedes Streifens ist die Höhe × Breite am Punkt auf der betrachteten Achse. Breite ist ein Wert, den wir wählen können, sagen wir ∆x. Und die Höhe ist ungefähr der Wert der Funktion am betrachteten Punkt, sagen wir f (x _i). Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass je kleiner die Streifen sind, desto besser passen die Streifen in den begrenzten Bereich, wodurch der Wert besser angenähert wird.

Also im Allgemeinen das bestimmte Integral I zwischen den Punkten a und b (dh in dem Intervall [a, b], in dem a1) & Dgr; x + f (x ₂) & Delta; x + ⋯ + f (x _n) & Delta; x, wobei n die Anzahl der Streife (n = (ba) / & Delta; x). Diese Summation der Fläche kann leicht unter Verwendung der Summationsnotation als I ≅ ≅ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x dargestellt werden. Da die Approximation besser ist, wenn ∆x kleiner ist, können wir den Wert berechnen, wenn ∆x → 0 ist. Daher ist es vernünftig zu sagen, dass I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x ist.

Als Verallgemeinerung des obigen Konzepts können wir das ∆x basierend auf dem durch i indizierten betrachteten Intervall auswählen (Auswahl der Breite des Bereichs basierend auf der Position). Dann bekommen wir

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆ x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Dies ist als Reimann-Integral der Funktion f (x) im Intervall [a, b] bekannt. In diesem Fall sind a und b als Ober- und Untergrenze des Integrals bekannt. Das Reimann-Integral ist eine Grundform aller Integrationsmethoden.

Im Wesentlichen ist Integration die Summe der Fläche, wenn die Breite des Rechtecks infinitesimal ist.

Was ist der Unterschied zwischen Integration und Summation?

• Die Summierung addiert eine Folge von Zahlen. Normalerweise wird die Summation in dieser Form ∑ ⁿ _{i = 1} a _{i angegeben,} wenn die Terme in der Sequenz ein Muster haben und unter Verwendung eines allgemeinen Terms ausgedrückt werden können.

• Integration ist im Wesentlichen der Bereich, der durch die Kurve der Funktion, die Achse sowie die oberen und unteren Grenzen begrenzt wird. Dieser Bereich kann als die Summe von viel kleineren Bereichen angegeben werden, die in dem begrenzten Bereich enthalten sind.

• Die Summierung umfasst die diskreten Werte mit der oberen und unteren Grenze, während die Integration kontinuierliche Werte umfasst.

• Integration kann als spezielle Form der Summierung interpretiert werden.

• Bei numerischen Berechnungsmethoden wird die Integration immer als Summierung durchgeführt.